个人觉得解释的浅显易懂,能够找到1组坐标(v一

 对于二个向量v以及基oabc,能够找到1组坐标(v一,v二,v三),使得v = v1 a +
v二 b + v叁 c          (一)
 而对此二个点p,则足以找到一组坐标(p1,p二,p三),使得 p – o = p壹 a
+ p2 b + p叁 c            (2),
 
从地点对向量和点的表述,大家能够见到为了在坐标系中意味三个点(如p),大家把点的职位看作是对那些基的原点o所开始展览的二个运动,即一个向量——p

o(有的书中把如此的向量叫做地点向量——早先于坐标原点的奇异向量),大家在表明那些向量的还要用等价的法子发挥出了点p:p= o +
p一 a + p二 b + p3 c (三)
 
(1)(三)是坐标系下发挥三个向量和点的不一样表明格局。那里能够看到,固然都以用代数分量的方式揭橥向量和点,但表达一个点比二个向量供给11分的音信。借使自个儿写出三个代数分量表明(1,
四, 七),哪个人知道它是个向量依旧个点!
    大家前天把(一)(3)写成矩阵的样式:v = (v壹 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p一 p二 p三 一) X (a b c
o),那里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右侧的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。那样,向量和点在同一个基下就有了差异的抒发:3D向量的第八个代数分量是0,而3D点的第四个代数分量是一。像这种这种用六个代数分量表示3D几何概念的方法是一种齐次坐标表示。
 
如此,上面的(一, 4,
柒)假如写成(壹,四,七,0),它就是个向量;假设是(一,4,柒,壹),它就是个点。上面是如何在平凡坐标(Ordinary
Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行更换:
(一)从家常便饭坐标转换来齐次坐标时
   如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);
   假如(x,y,z)是个向量,则改为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换来普通坐标时   
   要是是(x,y,z,一),则知道它是个点,变成(x,y,z);
   假诺是(x,y,z,0),则知道它是个向量,依然变成(x,y,z)
 
如上是透过齐次坐标来分别向量和点的法子。从中能够考虑得知,对于平移T、旋转Kuga、缩放S那几个最广大的仿射变换,平移变换只对于点才有含义,因为平时向量未有地点概念,只有大小和方向.
 
而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你能够用接近上边齐次表示来检查评定。从中能够观望,齐次坐标用于仿射变换分外有益。
 
另外,对于1个见怪不怪坐标的点P=(Px, Py, Pz),有照应的壹族齐次坐标(wPx, wPy,
wPz, w),当中w不等于零。比如,P(一, 四, 7)的齐次坐标有(1, 肆, 7, 1)、(2,
八, 14, 贰)、(-0.壹, -0.肆, -0.7,
-0.一)等等。因而,倘若把二个点从平凡坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同四个非零数w,然后扩展第七个轻重w;若是把二个齐次坐标转换到普通坐标,把前多个坐标同时除以第四个坐标,然后去掉第两个轻重。
 
是因为齐次坐标使用了6个轻重来发挥3D概念,使得平移变换能够使用矩阵展开,从而如F.S.
希尔,
JRubicon所说,仿射(线性)变换的举行更进一步方便人民群众。由于图片硬件已经大规模地支撑齐次坐标与矩阵乘法,由此越是助长了齐次坐标使用,使得它好似成为图形学中的八个标准。

        以下对齐次坐标的诠释,重要参照在其余博客看到的,非原创,个人觉得解释的浅显易懂,有助于初专家对齐次坐标的明白。

对此四个向量**v以及基oabc**,能够找到一组坐标(v1,v2,v三),使得

v = v1 a + v2 b + v3 c          (1)

而对此二个点**p**,则足以找到1组坐标(p1,p2,p三),使得

p – o = p1 a + p2 b + p3 c (2),

点能够当作是对这一个基的原点o所进行的一个活动,即二个向量——p –
o(有的书中把这样的向量叫做地点向量——早先于坐标原点的出格向量),我们在发布这一个向量的还要用等价的章程表达出了点p:o +
p1 a + p2 b + p3 c (3)

 (一)(叁)是坐标系下发挥三个向量的例外表明方式。那里能够看来,尽管都以用代数分量的样式公布向量和点,但表达多个点比多个向量需求杰出的音信。

比如说,写出一个代数分量表达(一, 四, 七),何人知道它是个向量还是个点!

 我们以后把(壹)(三)写成矩阵的样式:

v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o),p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),

这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右侧的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。那样,向量和点在同二个基下就有了不相同的发表:3D向量的第四个代数分量是0,而3D点的第伍个代数分量是一。像那种那种用五个代数分量表示3D几何概念的诀要是一种齐次坐标表示。

诸如此类,上边的(1, 4,
柒)假如写成(一,4,7,0),它正是个向量;假如是(一,四,柒,一),它正是个点。

下边是平日坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous
Coordinate)之间的变换:

(一)从数见不鲜坐标转换到齐次坐标时

 如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

 尽管(x,y,z)是个向量,则改为(x,y,z,0)

(二)从齐次坐标转换到普通坐标时   

 倘若是(x,y,z,①),则知道它是个点,变成(x,y,z);

 假如是(x,y,z,0),则知道它是个向量,依旧变成(x,y,z)

如上是经过齐次坐标来分别向量和点的主意。从中能够思索得知,对于平移T、旋转帕杰罗、缩放S那三个最广泛的仿射变换,平移变换只对于点才有含义,因为一般向量没有地点概念,唯有大小和方向.

而旋转和缩放对于向量和点都有含义,你能够用类似上边齐次表示来检查评定。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换万分方便。

其它,对于3个平常坐标的P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx,
wPy, wPz, w),在这之中w不等于零。比如,P(一, 肆, 七)的齐次坐标有(一, 4, 七,
一)、(二, 八, 14, 二)、(-0.壹, -0.四, -0.7,
-0.一)等等。由此,要是把贰个点从司空见惯坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同二个非零数w,然后扩大第四个轻重w;要是把叁个齐次坐标转换来普通坐标,把前多个坐标同时除以第四个坐标,然后去掉第六个轻重。

是因为齐次坐标使用了四个轻重来表明3D概念,使得平移变换能够使用矩阵展开,从而如F.S.
希尔,
J本田UR-V所说,仿射(线性)变换的开始展览更进一步惠及。由于图片硬件已经普各处支撑齐次坐标与矩阵乘法,因而特别助长了齐次坐标使用,使得它如同成为图形学中的贰个正规。

   以上很好的解说了齐次坐标的效率及使用齐次坐标的功利。

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