求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,  求解被积函数是有些分式P(x)/Q(x)的积分

  求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是有关x多项式。假如不能求出那类积分的原函数,结果将令人黯然,现在大家要统计寻找一个可行的情势求解那类问题。

  求解被积函数是局地分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是关于x多项式。若是无法求出那类积分的原函数,结果将令人黯然,现在大家要计算寻找一个立见成效的措施求解这类问题。

选定周全法

图片 1

  那么些很不难:

图片 2

  可是若是将其写成:图片 3 看起来就不那么不难求解了。那就须要大家可以去掉一部分分式的伪装,也就是进行部分分式,变成我们耳熟能详的被积函数。

  首先对被积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 4

  再将其拆分为新的等式:

 图片 5

  最后再求出A和B,那须求一些技术。现将等式两边都乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 6

  将x =
1代入等式,这样就可以消去B的分式,直接求得A:

 图片 7

  用相同的主意可求得B = 3。于是:

 图片 8

  掩盖法可以工作务必满意八个标准化:

  1. Q(x)可以被因是分解;
  2. P(x)的最高次数 <
    Q(x)的万丈次数

选定周到法

图片 9

  这些很简单:

图片 10

  不过若是将其写成:图片 11 看起来就不那么不难求解了。那就要求大家可以去掉一部分分式的弄虚作假,也就是展开部分分式,变成我们熟练的被积函数。

  首先对被积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 12

  再将其拆分为新的等式:

 图片 13

  最终再求出A和B,那须求或多或少技艺。现将等式两边都乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 14

  将x =
1代入等式,那样就足以消去B的分式,直接求得A:

 图片 15

  用平等的格局可求得B = 3。于是:

 图片 16

  掩盖法能够工作必须满足八个规范:

  1. Q(x)可以被因是解释;
  2. P(x)的参天次数 <
    Q(x)的最高次数

进展部分分式

图片 17

  那里不可以直接进行成:图片 18,这是力不从心求解的。对于分母是高次项的一对分式,其开展的模样应该型如:

 图片 19

  所以:

图片 20

  那种措施无法求解A,因为无法消除B项。可是可以运用古老的代数法求解,随便找一个数字,代入即可,那里令x
= 0,等式变为:

图片 21

  最终:

图片 22

开展部分分式

图片 23

  那里不可以直接进行成:图片 24,那是无能为力求解的。对于分母是高次项的一对分式,其开展的样子应该型如:

 图片 25

  所以:

图片 26

  那种艺术不可能求解A,因为无法消除B项。可是可以行使古老的代数法求解,随便找一个数字,代入即可,那里令x
= 0,等式变为:

图片 27

  最终:

图片 28

无法线性展开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,要是每个因式的参天次项都是1次,则称该多项式能够线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于无法线性展开的多项分式如何求解呢?

 图片 29

  首先是如故是因式分解:

 图片 30

  然后要将一些分式展开,与事先分化,分子要加盟一回项:

 图片 31

  用选定全面法求出A:

 图片 32

  接下去要大费周章求解B和C,先将分母全体消去:

图片 33

  此时大家观望等式最高次项的次数,左侧展开后会得到Ax2

  • Bx2,等式左右两边的高次项周到应当相等:

 图片 34

  由于省略号表示的表明式中校不会出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 图片 35

  现在面对的就是积分问题了,所以并不是说一些分式展开就顺利。第一局地很简单求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二有些可用揣度法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第三片段需求看重三角替换,令x = tanθ

图片 36

  最终:

 图片 37

没辙线性展开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,如若每个因式的最高次项都是1次,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于不可以线性展开的多项分式怎么样求解呢?

 图片 38

  首先是依然是因式分解:

 图片 39

  然后要将部分分式展开,与事先差异,分子要投入四回项:

 图片 40

  用选定周到法求出A:

 图片 41

  接下去要想方设法求解B和C,先将分母全体消去:

图片 42

  此时咱们寓目等式最高次项的次数,左侧展开后会得到Ax2

  • Bx2,等式左右两边的高次项周密应当相等:

 图片 43

  由于省略号表示的表达式准将不会出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最终求解积分:

 图片 44

  现在面对的就是积分问题了,所以并不是说有些分式展开就顺手。第一有的很不难求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二有些可用估算法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第三片段须要依靠三角替换,令x = tanθ

图片 45

  最终:

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处理假分式

  如果P(x)的次数超越Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,那类问题如若将其改为真分式就足以拍卖。

 图片 47

  与部分分式相反,第一步是一个钱打二十四个结多项式:

 图片 48

  用除法将其变成真分式,这些进程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

图片 49

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 50

  又来看了有些分式:

 图片 51

拍卖假分式

  如若P(x)的次数领先Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,那类问题假诺将其变为真分式就足以处理。

 图片 52

  与部分分式相反,第一步是一个钱打二十四个结多项式:

 图片 53

  用除法将其成为真分式,这一个进度实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

图片 54

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 55

  又来看了有些分式:

 图片 56

至上复杂的积分

  被积函数作为部分分式展开:

 图片 57

  一共有12个未知数,正好和一些分式的万丈次数相同。那里并不打算求解这么些未知数,只是用该列表示大家能够拍卖复杂的有理数积分。

  可是就算展开了部分分式,依然见面临复杂的积分处理。这些事例将会遇见上面的积分:

 图片 58

  一共有12个未知数,正好和局地分式的参天次数相同。那里并不打算求解那几个未知数,只是用该列表示我们得以处理千丝万缕的有理数积分。

  不过就算展开了一部分分式,依然相会临复杂的积分处理。那一个例子将会蒙受下边的积分:

图片 59

图片 60

  没完没了了,应该甩掉总计,交给总计机处理,只要知道统计思路即可。

极品复杂的积分

  被积函数作为部分分式展开:

 图片 61

  一共有12个未知数,正好和局地分式的万丈次数相同。那里并不打算求解这个未知数,只是用该列表示大家得以处理千头万绪的有理数积分。

  然则即便展开了有的分式,依然会师临复杂的积分处理。那个事例将会赶上上面的积分:

 图片 62

  一共有12个未知数,正好和一部分分式的万丈次数相同。这里并不打算求解这一个未知数,只是用该列表示大家得以处理千头万绪的有理数积分。

  不过就算展开了一些分式,照旧会见临复杂的积分处理。那个事例将会遭受上边的积分:

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  没完没了了,应该屏弃计算,交给计算机处理,只要了然总括思路即可。

示例

示例

示例1

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示例1

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图片 68

示例2

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示例2

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示例3

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tanθ=2x

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示例3

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tanθ=2x

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示例4

 图片 81

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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示例4

 图片 83

图片 84

 


  作者:我是8位的

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